光向哪裡轉

看完了前面的敘述與動畫，你是不是已經想到車子和折射之間的關係了？下面是一個關係對應表：

折射現象	類比
光	車子
光疏介質 (如真空、空氣等)	柏油路等可讓車子快速前進之硬地
光密介質 (如水、玻璃等)	沙地等會使車子前進速度變慢的軟地

下一個旅程：當光遇見三菱鏡

看過了這個對照表，還有上面的動畫，我們可以回頭想想課本教過的一些概念：

如果我們在兩種介質交界面上的任何一點，作一條垂直於這個界面的直線（如左圖虛線），這條直線就是所謂的「法線」。如果你用剛才學的車子法則，分析光在不同介質裡的速度，決定折射的方向，你會發現結果剛好符合你在課本學過的一個規則：

「光由疏介質進入密介質，折射角偏向法線；光由密介質進入疏介質，折射角偏離法線。」

所謂的光疏或光密介質，其實是一個相對的概念，當兩種介質連在一起時，光前進比較快的就是疏介質，比較慢的是密介質，而不是絕對的。例如，如果一邊是空氣一邊是水，那麼空氣是疏介質，水是密介質；如果把水和玻璃放在一起，那水可能就成了疏介質，玻璃才是密介質。

所謂的光疏或光密介質，其實是一個相對的概念，當兩種介質連在一起時，光前進比較快的就是疏介質，比較慢的是密介質，而不是絕對的。例如，如果一邊是空氣一邊是水，那麼空氣是疏介質，水是密介質；如果把水和玻璃放在一起，那水可能就成了疏介質，玻璃才是密介質。
此外，這邊所謂的「偏向」某個方向，自然是和原本直線前進不偏折的方向做比較。而這個偏折通常不會太大，再怎麼大也絕對不會越過法線。

現在，你應該已經了解我們剛才為什麼要練習決定車子方向的原因了，如果你能利用「速度差」決定光折射的方向，就再也不必去背上面的規則了。

坦克的由來：從惠更斯原理、折射定律、到光學坦克車

　　在折射的單元中，我們使用坦克車作為折射現象的輔助說明工具。問題是，坦克車為什麼可以作為折射的類比呢？在 Halliday, Resnick, and Walker (1995) 的普通物理課本中，作者用了三、四頁的篇幅從惠更斯原理 (Huygens’ Principle) 推導出折射定律 (Law of Refraction 或是 Snell’s Law)。本單元的內容，並不是重述一遍課本的內容。目的之一，是幫助讀者了解坦克與光學折射之間的關係；目的之二，則是課本中這一段的公式推導，本身其實就是一段很精采的折射成因說明，覺得很適合物理老師、大學學生、或其他有興趣的人參考。

　　不論今天我們用什麼觀點解釋光學現象，至少在 Maxwell Equations 之前，這個原理對幾何光學的現象提出了很好的描述（這其實是一個很有趣的問題，希望將來有機會可以好好談談有關於「科學是什麼」的問題）。底下我們將看看，從惠更斯原理推導出折射定律的過程中，做了哪些假設及陳述；這些陳述和履帶坦克車在不同地面前進究竟有什麼相似之處，使我們可以借用坦克車作為折射現象的類比。推導過程所使用的數學應該不超過中學數學的範圍，想參考比較完整的敘述，請直接閱讀以上所提的大一普物課本，這裡只做個簡單的描述。

一、方程式推演

首先，惠更斯原理告訴我們說，在波前 (wavefront) 上的每一個點都可以視為一個點波源，產生新的球狀波(如圖一)。

從這裡，我們可以發現一個平面波經過一段時間之後，所產生的新波前仍然是一個平面波。

剛才的平面波如果一直在同樣的介質〈如空氣〉中傳遞，它會一直平行前進；如果垂直進入另一種介質〈例如水或是玻璃〉，如我們所知，光前進的速度會改變。

現在我們考慮另一種狀況：如果這一束平行光以非垂直的方向進入另一種介質，情況會如何？（右圖）

課本中畫了一個這樣的圖〈右圖三〉，然後怎麼開始計算呢？第一，我們知道，光在空氣中進行的速度比在水中快，所以，在同樣的時間內，光在空氣中前進的距離比在水中多。假設光在空氣中的速度是v1，在水中的速度是v2：

　　(方程式1)

我們剛說過，這兩個距離是在同樣的時間之內所走的，所以：

(方程式2)
從這裡我們先得到了前進距離和光速的關係。

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上面的方程式告訴我們，一束平行光如果一直在同一個介質中前進，他會一直走下去；如果這一束平行光一邊走的快，一邊卻碰上了讓光走的比較慢的介質，那麼走得快的那邊會前進的比較多，而走得慢的那邊會前進的比較少。這個應該很容易想像。

接下來要討論的是，原本一起平行前進的光，一邊繼續前進，一邊速度減慢，會發生什麼事呢？假設 ac 之間的距離是 L：

　　　　　在 中，   ；   在中，

這裡我們又知道了前進距離和入射角、折射角之間的關係〈至於這兩個角度為什麼剛剛好就是入射角和折射角，恐怕就得考考你兩個角度的定義及國中的三角學得怎樣了〉。接下來課本又考慮了折射係數和光速之間的關係，就導出了大家熟知的折射定律：
　　　　　　　　〈方程式 5〉

二、方程式分析

這裡我們省略了大部分的數學過程，只看每一段計算開始之前的敘述〈想知道詳細內容請參考課本〉。第一、從方程式1和2我們知道，光在不同介質中有不同的前進速度，所以相同時間內有不同的前進距離；第二、從方程式3和4我們又知道，由於一開始都是在同一平面直進的平行光，當一邊前進得多一邊前進得少，前進的方向就產生了不同的角度。所以從以上的兩點可知，這個角度的變化是由速度所決定的，而折射係數就是從光的速度定出來的，於是我們就得到了方程式中，折射係數和角度的關係。

三、坦克車與方程式

當我們了解了這一串方程式推導過程的關鍵之後，再來看看履帶坦克車。當坦克車在柏油路等硬地前進時，車子可以用全速前進；可是當坦克駛進沙地等軟泥地時，履帶會稍微打滑，不容易發揮車子真正的速度。所以在第一點提到的速度上，坦克車就相當於光，硬地則像是真空或是空氣等光疏介質，可以讓坦克以較快的速度前進；沙地像玻璃或水等光密介質，坦克前進速度較慢。如果坦克車以一個角度由硬地進入沙地，一邊履帶先進入沙地，慢了下來；另一邊還在硬地上快速前進，會出現什麼結果呢？當然就是會轉向。轉向哪個方向？一定是轉向比較慢的那邊，這個結果和方程式3、4計算的結果剛好是一樣的。等到坦克完全進入沙地之後，兩邊履帶以同速前進，又恢復直進。

如果我們只是定性地想由折射係數，也就是光在不同介質的傳播速度來決定光的偏轉方向，坦克車會是一個很好的類比，可以幫助學習者用推想的方式決定光偏折的方向。用速度差來推想折射方向，其結果和使用方程式5所得到的結果正好是一樣的。把這兩個結果用文字的方式定性地敘述出來，結果就是：

「光由疏介質進入密介質，折射角偏向法線；光由密介質進入疏介質，折射角偏離法線。」