八十四學年度大學入學考試中心學科能力測驗數學考科試題

第一部份: 選擇題

壹、單一選擇題：【35%, 每題5分】

1.    

下圖中A、B、C、D、E為坐標平面上的五個點, 將這五點的坐標(x, y)分別代入x-y=k, 問那一點所得的k值最大?

(A)A   (B)B   (C)C   (D)D   (E)E   (1-2-3)

 

(E)

 

2.    

若將化為最簡分數, 則其分母為何?
(A)100487   (B)100489   (C)10280   (D)25825159   (E)25825161  (1-2-1)

 

(A)

 

3.    

下圖表示長方形垛的疊法.

某水果販將橘子堆成長方形垛, 若最底層長邊有10個橘子, 短邊有5個橘子, 則此長方形垛最多有幾個橘子?
(A)110   (B)120   (C)130   (D)140   (E)150  (1-3-3)

 

(C)

 

4.    

以下選項所列的各平面, 那一個平面與球x2+y2+z2-2x+4y+2z-19=0相交所成的圓之面積最大?
(A)x+y+z=0   (B)z=-1   (C)y=1   (D)x=2   (E)x=2y  (3-4-4)

 

(B)

 

5.    

我國自用小汽車的牌照號碼, 前兩位為大寫英文字母, 後四位為數字, 例如AB-0950. 若最後一位數字不用4, 且後四位數字沒有0000這個號碼, 那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個?
(A)25´25´(4320-1)   (B)26´25´4320-1   (C)26´25´(5040-1)
(D)26´26´(9000-1)   (E)26´26´9000-1  (4-2-2)

 

(D)

 

6.    

某肥皂廠商欲推出一種新產品, 在上市前以不同的單價x(單位: 十元), 調查市場的需求量y(單位: 萬盒). 調查結果如下:

x

8

9

10

11

12

y

11

12

10

8

9

問x和y的相關係數最接近下列那一個值?
(A)   (B)   (C)0   (D)-   (E)-    (5甲-1-4)

 

(E)

 

7.    

設m為實數, 若二次函數y=mx2+10x+m+6的圖形在直線y=2的上方, 則m的範圍為何?
(A)m>0  (B)m>-2+  (C)0<m<-2+  (D)-2-<m<-2+
(E)m>-2+或m<-2-         (1-4-6)

 

(B)

 

貳、多重選擇題：【15%, 每題5分】

8.    

下面有五組函數, 那些組的兩個函數, 其圖形互相對稱於y軸?
(A)y=()3x和y=23x   (B)y=23x和y=32x   (C)y=x2和y=-x2
(D)y=logx和y=log(-x)   (E)y=cosx和y=sin(x-)
(2-1-2&1-4-4&2-1-5&2-3-1)

 

(A)(D)

 

9.    

cos74°-cos14°等於下列那些式子?
(A)cos60°   (B)2sin30°sin44°   (C)2cos30°cos44°   (D)sin16°-sin76°
(E)sin164°+cos166°  (2-3-4)

 

(D)(E)

 

10.     

已知等軸雙曲線G的一條漸近線為x-y=0, 中心的坐標為(1, 1), 且G通過點(3, 0). 試問下列敘述那些是正確的?
(A)G的兩條漸近線互相垂直      (B)x+y=0為G的另外一條漸近線
(C)G的貫軸在直線y=1上             (D)點(1,  -1)為G的一個頂點
(E)點(1,  -1)為G的一個焦點    (4-1-3)

 

(A)(C)

 

11.     

下圖中ABCD為正四面體, M為的中點, 試問下列那些敘述是正確的?

(A)直線與平面ABM垂直
(B)向量與向量垂直
(C)ÐAMB>ÐADB
(D)平面ACD與平面BCD的二面角(銳角)大於60°
(E)                   (3-2-1)

 

(A)(B)(C)(D)

 

第二部份: 填充題【50%, 每題5分】

12.     

已知兩拋物線x=y2+3y-2與y=x2+kx+19有交點, 其中有兩個交點在直線x+y=3上, 則k的值等於多少?   (4-1-1)

 

-11

 

13.     

已知二多項式, P(x)=1+2x+3x2+…+10x9+11x10=與Q(x) =1+3x2
+5x4+…+9x8+11x10=. 則P(x)和Q(x)的乘積中, x9的係數為_____  (1-4-1)

 

110

 

14.     

林先生與陳小姐一起到遊樂場玩打靶遊戲, 林先生射擊命中靶的機率是, 陳小姐的機率是, 林先生先射, 陳小姐後射; 林先生射中與否不會影響陳小姐的命中率, 若他們兩個向靶各射一次, 問只有陳小姐射中的機會為多少?  (4-3-2&5甲-1-2)

 


 

15.     

設n為自然數, 則滿足10n-1>9n的n值中最小的為?  (2-1-6)

 

22

 

16.     

有四條直線L1: x-y=1, L2: x+y=4, L3: 8x+y=-10和L4: x=2. 這四條直線圍出一個四邊形. 請問此四邊形較短的對角線長度為多少?  (1-2-3)

 

5

 

17.     

一汽艇在湖上沿直線前進, 有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左50°, 距離為200公尺. 一分鐘後, 於原地再測, 如汽艇駛到正前方偏右70°, 距離為300公尺. 那麼此汽艇在這一分鐘內行駛了______公尺.
(2-2-6)

 


 

18.     

假設某鎮每年的人口數逐年成長, 且成一等比數列. 已知此鎮十年前有25萬人, 現在有30萬人, 那麼二十年後, 此鎮人口應有______萬人(求到小數點後一位) (1-3-1)

 

43.2

 

19.     

設f(x)=(sinx+cosx)2+4(sinx+cosx), 則f(x)的最小值為______  (2-3-5)

 

2-4

 

20.     

在空間坐標中, 設xy平面為一鏡面, 有一光線通過點P(1, 2, 1), 射向鏡面上的點O(0, 0, 0), 經鏡面反射後通過點R. 若=2, 則R點的坐標為______  (3-2-2)

 

(-2, -4, 2)