1.有理、無理數溯源：

把整數和分數叫做有理數，據有人考證，倒是由於一開始翻譯時的訛誤。

原來有理數中的有理一詞，英文是Rational。這個詞本來有兩個含意，其一是比，其二是合理。照數學上的原義，分數可以表成兩整數之比，把有理數叫做比數是很確切的。可是，日本學者在十九世紀翻譯西方的數學書時，把這個詞譯成了有理數，日本語言中是用了很多漢字的。

後來，在中日文化交流中，中國又從日本引進了有理數和無理數這兩個詞，長期應用到現在，沒法改，也不必改了。

2. 不是有理數的發現：

不是有理數，這個事實是比歐基里得更早一些的畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前500年左右）學派的人們發現的。

畢達哥拉斯學派有一個基本觀點，叫做萬物皆數。在他們的心目中，數就只有正整數，而且正整數也就是組成物質的基本粒子---原子。因此他們認為，一切量都可以用整數或整數的比來表示。他們覺得，一條線段就好比一串珍珠，這珍珠就是一個一個的點，不過幼小又多罷了。按這種看法，兩條線段長度的比，就應當是可以用整數之比來表示的了。

據說，畢達哥拉斯學派的一個青年人，叫做希勃索斯（Hippasus，公元前五世紀左右）的，第一個發現了正方形的邊和對角線長度之比不能用整數之比來表示。用現在的話說，就是 不是有理數。這個發現直接和畢達哥拉斯學派的錯誤信條萬物皆數相觝觸。使這個學派的許多人大為惶恐和惱怒。據傳說，希勃索斯在海船上向學派的其他成員講述這個發現時，受到了激烈的反對。由於他堅持自己所發現的真理，竟被拋入海中淹死了。

3. 表示2的正平方根：

用來表示平方根，是十六世紀由解析幾何的創始人笛卡兒（Descartees，1596-1650）首先採用的，那時，離 的被發現已有兩千年，不少數學者已開始承認像 這類不能用分數表示的數了。

4. 是無理數的證明：
是人類最早發現的無理數之一。早在公元前500年左右，人們就會證明 是無理數了。

證法一 ：
用反證法證明。先假設 是有理數，如果從這一假設出發推出矛盾，便說明這個假設錯了，即 不是有理數。

若 是有理數。由於有理數只包含正、負整數、正、負分數和0，而 ＞0，故必然有兩個正整數n、m，使 ＝ ，而且n和m沒有大於1的公約數，即互質。根據 的定義，有 ＝（ ）²＝2，
也就是
n²＝2m² ……..（2）    
這個式子右端是偶數，故左端的n²也是偶數，因而n是偶數，n＝2k，於是得4k²＝2m²，即2k²＝m²。這推出m是偶數，這說明n和m有大於1的公約數，與假設相矛盾。

這個證明還可以說的更簡單些：不必假定n和m沒有大於1的公約數。直接觀察（2）式，它的右端所含2的因數有奇數個，而左端含2的因數又為偶數個，這就有了矛盾。

證法二：
 仍用反證法證明。設 ＝ ，n和m都是正整數，而且沒有大於1的公約數。由（2）式n²＝2m²，在十進制下，整數的平方的個位數字只能是0、1、4、5、6、9中之一，二倍之後只能是0，2，8之一。所以（2）式左端的個位數字是0、1、4、5、6、9中之一，而右端末位數字是0、2、8中之一。即兩端的個位都是0，這說明n和m有公因數5，於是推出了矛盾。

上面介紹的第一個證法，曾出現在兩千多年前希臘幾何學家歐基里得（Euclid，公元前300年左右）所寫的幾何原本一書中。這說明早在兩千年前，人們就知道 不是有理數，而且會用反證法來進行邏輯推理了。